Lista de Exercícios

Vejamos outra questão de análise combinatória, agora cobrada pela CESPE/UnB.
(CESPE/Banco do Brasil/2007) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
1) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da America Central é inferior a 180.
2) Considerando-se que, em uma determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da America do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas competirem entre si é igual a 66.
3) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação para o 1°,2° e 3° lugares foi igual a 6.
4) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe
Vamos a solução da questão.
1) Temos nesta situação especifica: AC = 8 e AN = 3, onde AC = América Central e AN= América do Norte. O problema fala que podemos ter comitês com 3 países, 4 países e 5 países da América Central.
Com 3 países => AC AC AC AN. AN. => como a ordem não influencia no resultado trata-se de uma combinação simples.
C(n,k) = n!/k!(n-k)! => C(8,3) x C(3,2)
C(8,3) = 8!/3!(8-3)! = 8.7.6.5!/3!.5! – simplificando 5 fatorial temos que:
C(8,3) =8.7.6/3.2.1 = 8.7.6/6 = 8.7 = 56
C(3,2) = 3!/2!(3-2)! => C(3,2) = 3!/2!.1! => C(3,2)= 3.2!/2!.1! = 3 ( simplificando 2! e 1! = 1)
Agora é so multiplicar os resultados = C(8,3) x C(3,2) = 56.3 = 168
Vamos agora determinar o número de comitês com 4 países da America Central.
AC AC AC AC AN.
C(8,4) x C(3,1) =
C(8,4) = 8!/4!(8-4)! = 8.7.6.5.4!/4!.4! simplificando 4 ! temos que:
C(8,4) = 8.7.6.5/4.3.2.1 = 1680/24 = 70
C(3,1) =3!/1!(3-1)! = 3.2!/1!.2! = 3 (simplificando 2! e 1! = 1)
C(8,4) x C(3,1) = 70.3 =210
Como percebemos se somarmos os resultados o número total de comitês será superior a 180.
Este item Está Errado!
2) Considerando que certa modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades de atletas do mesmo continente competirem entre si é igual a 66
Solução: como a ordem não é influenciada pois independente das posições são atletas da America do Sul , trata-se de combinação
C(12,2) = 12!/2!(12-2)!
C(12,2) = 12!/2!.10!
C(12,2) = 12.11.10!/2!.10! simplificando 10! Temos
C(12,2)=12.11/2 = 132/2 = 66 portanto o item está certo!

3) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades de classificação no 1°,2° e 3° lugares foi igual a 6.
Solução:
Como temos 3 países da América do Norte então é só aplicarmos o príncipio fundamental da contagem
Para o 1° colocado temos 3 possibilidades
Para o 2° colocado temos 2 possibilidades
Para o 3° colocado temos 1 possibilidades
Multiplicando o número de possibilidades, temos 3.2.1 = 6 Item Certo!
4) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com 7 representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da America do Sul, 2 da America Central e 2 do Caribe.
Solução Seja AS = 12( América do sul ), AC=8 ( America Central) e CAR =19 (Caribe)

O Comitê deve ter a seguinte Formação: AS AS AS AC AC CAR CAR
Como a ordem não influencia no resultado, trata-se combinação.
C(12,3) x C(8,2) xC(19,2)
C(12,3)= 12!/3!(12-3)! =>
C(12,3)= 12!/3!.9! =>
C(12,3) =12.11.10.9!/3!.9! simplificando 9! Temos:
C(12,3) = 12.11.10/3.2.1 => C(12,3)= 220
Com os países da América Central
C(8,2) = 8!/2!.(8-2)!
C(8,2) = 8!/2!.6! => C(8,2) = 8.7.6!/2!.6! Simplificando 6! Temos
C(8,2) =8.7/2 = 56/2 = 28
Então pela multiplicação dos dois resultados já encontrados, percebemos que será bem superior a 419, portanto item Errado!

Na Folha de respostas deverá ser preenchida a ordem E C C E.